Resposta a pergunta, qual a distância que um regador consegue jogar água?

Leandro Michelson
26 de set. de 2015
3 min de leitura

A pergunta colocada mais a baixo parece de fácil resolução, visto que um regador não é muito complexo, e praticamente todo mundo já utilizou algum. Mas você que está lendo esse post, já parou pra pensar quais são todas as variáveis envolvidas nesse problema? Podemos primeiramente determinar a velocidade com que a agua escoa pelo furo do regador, inicialmente trataremos o regador como tendo um único orifício, para saber a equação dessa velocidade podemos deduzi-la de duas formas: Primeiramente sabemos que a energia cinética e a energia potencial são conservativas, ou seja, “uma se transforma na outra”, então podemos igualar suas equações, 𝑚.𝑔.ℎ=𝑚𝑣22 massa vezes a gravidade vezes a altura é a energia potencial gravitacional, e m vezes a velocidade ao quadrado sobre dois 2 é a energia cinética. Que isolando a variável velocidade fica: 𝑣=√2𝑔ℎ . Logo as únicas variáveis que atuam sobre a velocidade que sai do bico do regador são a gravidade e a altura. O outro método é por via da equação de Bernoulli: 𝑝1+𝜌𝑦1+𝜌2𝑣12=𝑝2+𝜌𝑔𝑦2+𝜌2𝑣22,𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑝1=𝑝2,𝑒 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎 𝑦1=0,𝑒 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 1 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒𝑛𝑎,𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑠𝑐𝑟𝑒𝑣𝑒𝑟 𝑠𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑟𝑡𝑒 𝑑𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜,𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑖𝑐𝑎: 𝜌𝑔𝑦2+𝜌2𝑣22=0,𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 2 𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠∶ 𝑣=√𝜌ℎ𝑔.2𝜌 𝑙𝑜𝑔𝑜,𝑣=√2𝑔ℎ , 𝑜𝑏𝑠:𝑞𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑠𝑎í𝑑𝑎 𝑛ã𝑜 𝑓𝑜𝑟 𝑚𝑢𝑖𝑡𝑜 𝑚𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑎 á𝑟𝑒𝑎 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎,𝑛ã𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑠𝑝𝑟𝑒𝑧𝑎𝑟 𝑎 𝑣𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙,𝑒𝑛𝑡ã𝑜 𝑓𝑖𝑐𝑎𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑚 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜: 𝑣=√2𝑔ℎ+𝑣12 Sabemos que a agua formará um arco de parábola, pois não poderá ter uma trajetória retilínea, devido ação da gravidade. Temos que a equação de velocidade é: 𝑣=𝑆𝑡 , velocidade é igual a distância dividida pelo tempo, como queremos saber a distância que a água atinge em relação ao bico, isolamos a posição: 𝑠=𝑣.𝑡 . Tomamos l a altura que a água tem dentro do recipiente, e h a distância do fundo do recipiente até o bico, e H a altura que o recipiente esta do solo. Sabemos que para um objeto em queda livre (sob ação exclusiva de seu peso) tem-se y = (1/2).g.t2, que no nosso caso torna-se:

(𝑙−ℎ+𝐻)=𝑔.𝑡22 ,𝑖𝑠𝑜𝑙𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑡,𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑡=√2.𝑙−ℎ+𝐻𝑔 𝑒 𝑠𝑢𝑏𝑠𝑡𝑖𝑡𝑢𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑎𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑎çõ𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑣𝑜𝑙𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑒 𝑑𝑒 𝑡𝑒𝑚𝑝𝑜 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑐𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎: 𝑠=𝑣.𝑡= √2𝑔ℎ .√2.𝑙−ℎ+𝐻𝑔=2.√ℎ(𝑙−ℎ+𝐻) ,𝑓𝑒𝑖𝑡𝑜 𝑖𝑠𝑠𝑜 𝑜𝑏𝑡𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑒𝑚 𝑓𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑎 𝑎𝑙𝑡𝑢𝑟𝑎.

Sendo l a distância da superficie ao fundo do regador e h a distacia do fundo do regador até o bico. Para sabermos a distância máxima, podemos considerar que a água quando ultrapassa a altura 𝑙−ℎ, começa a cair verticalmente, então podemos desconsiderar a altura H. Assim ficamos com a equação, 𝑠=2.√ℎ(𝑙−ℎ). Más somente isso não é suficiente, pois ainda temos as variáveis densidade, velocidade de saída da agua, pressão e área de saída e de entrada da água. Por exemplo, quando afinamos o bico do regador, aumentamos a velocidade da agua, pois a água que entra nesse condutor é a mesma que sai, no mesmo intervalo de tempo, logo, se o condutor de água fica mais fino, a agua deve ganhar mais velocidade, o que por consequência diminui a pressão. E ainda depois disso, temos vários furinhos pequenos na saída do bico regador, o que aumenta ainda mais a velocidade de saída da água. Para calcularmos isso, devemos utilizar a equação de Bernoulli, já apresentada anteriormente, a demonstração se encontra no site: equação de Bernoulli, onde podemos fazer modificações no regador a fim de obter um melhor desempenho dele, ou somente verificar se esse regador esta com o máximo desempenho possível. Outro problema que encontramos, é que quando jogamos a água pelo regador, nós o inclinamos, mudando assim as medidas originais l e h constantemente, então para cada inclinação temos valores diferentes de ℎ 𝑒 𝑙 . Logo, devemos considerar a maior distância que a água atinge, quando inclinarmos o regador para obtermos o maior valor de 𝑙. Para calcularmos qual a melhor altura do bico, utilizamos a equação da posição, ja encontrada anteriormente: S(h)= √4ℎ(𝑙−ℎ) derivando com relação a h, obtemos: 𝑑𝑆/𝑑ℎ=𝑙−2ℎ√ℎ(𝑙−ℎ) e para saber qual a altura que devemos fazer a agua jorrar, devemos igualar essa função a zero. Assim obtemos os valores de h e l para que a distância que a agua atinja seja máxima. Assim, podemos chegar a conclusão de que alguns problemas que parecem ser simples exigem um alto grau de conhecimento matemático.